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Archivos para 1 noviembre 2011

Publicado por Carlosmath en Ecuaciones irracionales el noviembre 1, 2011

Problema planteado en AOPS, página dedicada a olimpiadas de matemática en general.

Enunciado:

Resolver $x$

$\displaystyle x+\sqrt{11+\sqrt{x}}=11$

Mi solución:

First of all, we define $0\leq x \leq 11$ , also $y=\sqrt{x}$ , then

$\displaystyle x+\sqrt{11+\sqrt{x}}=11 \rightarrow \sqrt{11+y}=11-y^2$

$\displaystyle y^4-22y^2-y+110=0 \rightarrow (y^2-y-11)(y^2+y-10)=0$

Follow the condition $0\leq x \leq 11$

$\displaystyle y=\frac{1+\sqrt{45}}{2}\Rightarrow x=\frac{23+3\sqrt{5}}{2}$

$\displaystyle y=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}\Rightarrow x=\frac{21-\sqrt{41}}{2}$

$\displaystyle \therefore x=\frac{21-\sqrt{41}}{2}$

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