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Problema 6

Publicado por carlosmath en Ecuaciones irracionales el noviembre 1, 2011


Problema planteado en AOPS, página dedicada a olimpiadas de matemática en general.

Enunciado:

Resolver x

\displaystyle x+\sqrt{11+\sqrt{x}}=11

Mi solución:

First of all, we define 0\leq x \leq 11, also y=\sqrt{x}, then

\displaystyle x+\sqrt{11+\sqrt{x}}=11 \rightarrow \sqrt{11+y}=11-y^2

\displaystyle y^4-22y^2-y+110=0 \rightarrow (y^2-y-11)(y^2+y-10)=0

Follow the condition 0\leq x \leq 11

\displaystyle y=\frac{1+\sqrt{45}}{2}\Rightarrow x=\frac{23+3\sqrt{5}}{2}

\displaystyle y=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}\Rightarrow x=\frac{21-\sqrt{41}}{2}

 \displaystyle \therefore x=\frac{21-\sqrt{41}}{2}

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